Cómo calcular los lados y ángulos de los triángulos

¿Qué es un triángulo?

Por definición, un triángulo es un polígono con tres lados.

Los polígonos son formas planas (planas, bidimensionales) con varios lados rectos. Otros ejemplos incluyen cuadrados, pentágonos, hexágonos y octágonos. El nombre proviene del griego polús que significa "muchos" y gōnía que significa "esquina" o "ángulo". Así que polígono significa "muchas esquinas". Un triángulo es el polígono más simple, con solo tres lados.

En este tutorial, aprenderá sobre el teorema de Pitágoras, la regla del seno, la regla del coseno y cómo usarlos para calcular todos los ángulos y longitudes de los lados de los triángulos cuando solo conoce algunos de los ángulos o longitudes de los lados. También descubrirás diferentes métodos para resolver el área de un triángulo.

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Datos básicos sobre los triángulos

Antes de profundizar en el teorema de Pitágoras, la regla del seno y la regla del coseno, es importante indicar que todos los triángulos tienen tres esquinas con ángulos que suman un total de 180 grados. El ángulo entre los lados puede ser desde más de 0 hasta menos de 180 grados. Los ángulos no pueden ser 0 o 180 grados, porque los triángulos se convertirían en líneas rectas.

Los grados pueden escribirse usando el símbolo º. Entonces, 45º significa 45 grados.

Los triángulos vienen en muchas formas y tamaños según los ángulos de sus esquinas. Algunos triángulos, llamados triángulos similares, tienen los mismos ángulos pero diferentes longitudes de lado. Esto cambia la proporción del triángulo, haciéndolo más grande o más pequeño, sin cambiar el grado de sus tres ángulos.

A continuación, examinaremos las muchas formas de descubrir la longitud de los lados y los ángulos de un triángulo.

¿Cuáles son los diferentes tipos de triángulos?

Antes de aprender a descubrir los lados y los ángulos de un triángulo, es importante conocer los diferentes tipos de triángulos. La clasificación de un triángulo depende de dos factores:

• La longitud de los lados de un triángulo.
• Los ángulos de las esquinas de un triángulo.

A continuación se muestra un gráfico y una tabla con los diferentes tipos de triángulos junto con una descripción de lo que los hace únicos.

Tipos de triángulos

Puedes clasificar un triángulo por longitud de lado o por ángulo interno.

Por longitudes de lados

Tipo de triángulo	Descripción
Isósceles	Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud y un lado que es más largo o más corto que los lados iguales. El ángulo no tiene relación con este tipo de triángulo.
Equilátero	Todos los lados y ángulos son iguales en longitud y grado.
Escaleno	Todos los lados y ángulos son de diferentes longitudes y grados.

Por ángulo interno

Tipo de triángulo	Descripción
Derecha	Un ángulo es de 90 grados.
Agudo	Cada uno de los tres ángulos mide menos los 90 grados.
Obtuso	Un ángulo es mayor que 90 grados.

Tipos de triángulos y clasificaciones

Usando el alfabeto griego para las ecuaciones

Otro tema que cubriremos brevemente antes de adentrarnos en las matemáticas para resolver triángulos es el alfabeto griego.

En ciencias, matemáticas e ingeniería, muchos de los 24 caracteres del alfabeto griego están prestados para su uso en diagramas y para describir ciertas cantidades. Por ejemplo, los caracteres θ (theta) y φ (phi) se usan a menudo para representar ángulos.

Es posible que también haya visto que el carácter μ (mu) representa micro como en microgramos μg o micrómetros μm. La letra mayúscula om (omega) es el símbolo de ohmios en ingeniería eléctrica. Y, por supuesto, π (pi) es la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo.

¿Cómo encuentras los lados y los ángulos de un triángulo?

Hay muchos métodos disponibles para el matemático cuando se trata de descubrir los lados y los ángulos de un triángulo. Para encontrar la longitud o el ángulo de un triángulo, se pueden usar fórmulas, reglas matemáticas o el conocimiento de que los ángulos de todos los triángulos suman 180 grados.

Herramientas para descubrir los lados y ángulos de un triángulo

• Teorema de Pitágoras
• Regla de seno
• Regla coseno
• El hecho de que todos los ángulos suman 180 grados.

Teorema de Pitágoras (El teorema de Pitágoras)

El teorema de Pitágoras utiliza la trigonometría para descubrir el lado más largo (hipotenusa) de un triángulo rectángulo. Afirma que para un triángulo rectángulo:

El cuadrado en la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados en los otros dos lados.

Escrito como una fórmula, el teorema de Pitágoras es el siguiente:

c² = a² + b²

c = √ ( a² + b²)

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, se ubica frente al ángulo recto.

Entonces, si conoce las longitudes de dos lados, todo lo que tiene que hacer es cuadrar las dos longitudes, sumar el resultado, luego tomar la raíz cuadrada de la suma para obtener la longitud de la hipotenusa.

Ejemplo de problema usando el teorema de Pitágoras

Los lados de un triángulo son 3 y 4 unidades de largo. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Llama a los lados a, b, y c. El lado c es la hipotenusa.

a = 3 

b = 4

c = Desconocido

Entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

Entonces, c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

c = √25

c = 5

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide 90 grados. El lado opuesto a este ángulo se conoce como hipotenusa (otro nombre para el lado más largo). La longitud de la hipotenusa se puede descubrir usando el teorema de Pitágoras, pero para descubrir los otros dos lados, se debe usar el seno y el coseno. Estas son funciones trigonométricas de un ángulo.

En el siguiente diagrama, uno de los ángulos está representado por la letra griega. El lado a se conoce como el lado "opuesto" y el lado b es "adyacente" al ángulo θ.

Las líneas verticales "||" alrededor de las palabras de abajo significa "longitud de".

seno θ = | lado opuesto | / | hipotenusa |

coseno θ = | lado adyacente | / | hipotenusa |

Tan θ = | lado opuesto | / | lado adyacente |

El seno y el coseno se aplican a un ángulo, cualquier ángulo, por lo que es posible tener dos líneas que se unen en un punto y evaluar el seno o el cos para ese ángulo. Sin embargo, el seno y el coseno se derivan de los lados de un triángulo rectángulo imaginario superpuesto a las líneas.

En el segundo diagrama a continuación, puede imaginar un triángulo rectángulo superpuesto al triángulo púrpura, desde el cual se pueden determinar los lados opuestos, adyacentes, hipotenusos.

En un rango de 0 a 90 grados, el seno varía de 0 a 1, y el costo varía de 1 a 0.

Recuerde, el seno y el coseno solo dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo. Entonces, si la longitud a cambia en el diagrama a continuación cuando el triángulo cambia de tamaño, la hipotenusa c también cambia de tamaño, pero la proporción de a a c permanece constante. Son triángulos semejantes.

El seno y el coseno se abrevian a veces como pecado y cos.

La regla del seno

La relación entre la longitud de un lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es constante para los tres lados y ángulos.

Entonces, en el diagrama de abajo:

a / seno A = b / seno B = c / seno C

Ahora, puede verificar el seno de un ángulo con una calculadora científica o buscarlo en línea. En los viejos tiempos antes de las calculadoras científicas, teníamos que buscar el valor del seno o cos de un ángulo en un libro de tablas.

La función opuesta o inversa de sine es arcsine o "seno inverso", a veces escrito como sen -1 . Cuando verifica el valor de arco de un valor, se está calculando el ángulo que produjo ese valor cuando la función seno fue operada en él. Asi que:

sin (30º) = 0.5 y sin -1 (0.5) = 30º

La regla del seno debería ser usada si ...

Se conoce la longitud de un lado y la magnitud del ángulo opuesto. Luego, si se conoce alguno de los otros ángulos o lados restantes, se pueden calcular todos los ángulos y lados.

La regla del coseno

Para un triángulo con los lados a, b y c, si a y b son conocidos y C es el ángulo incluido (el ángulo entre los lados), C puede resolverse con la regla del coseno. La fórmula es la siguiente:

c 2 = a 2 + b 2 - 2abCos C

La regla del coseno debería usarse si ...

Conoces las longitudes de dos lados de un triángulo y el ángulo incluido. A continuación, puede calcular la longitud del lado restante utilizando la regla de coseno.

Sabes todas las longitudes de los lados pero ninguno de los ángulos.

Luego, reorganizando la ecuación de la regla del coseno:

C = Arccos ((a 2 + b 2 - c 2 ) / 2ab)

Los otros ángulos pueden ser resueltos de manera similar.

Cómo obtener el área de un triángulo

Hay tres métodos que se pueden usar para descubrir el área de un triángulo.

Método 1

El área de un triángulo se puede determinar multiplicando la mitad de la longitud de su base por la altura perpendicular. Perpendicular significa en ángulos rectos. ¿Pero de qué lado está la base? Bueno, puedes usar cualquiera de los tres lados. Usando un lápiz, puede trabajar el área dibujando una línea perpendicular desde un lado hasta la esquina opuesta usando un cuadrado, T-cuadrado o transportador (o el cuadrado de un carpintero si está construyendo algo). Luego, mida la longitud de la línea y use la siguiente fórmula para obtener el área:

Área = 1 / 2ah

"a" representa la longitud de la base del triángulo y "h" representa la altura de la línea perpendicular.

Método 2

El método simple anterior requiere que realmente midas la altura de un triángulo. Si conoce la longitud de dos de los lados y el ángulo incluido, puede calcular el área analíticamente usando seno y coseno (vea el diagrama a continuación).

Método 3

Usa la fórmula de Heron. Todo lo que necesitas saber es la longitud de los tres lados.

Área = √ (s (s - a) (s - b) (s - c))

Donde s es el semiperímetro del triángulo

s = (a + b + c) / 2

Parámetros conocidos	Tipo de triángulo	Regla de uso
El triángulo es correcto y sé la longitud de dos lados.	SSS según el teorema de Pitágoras usado	Usa el teorema de Pitágoras para calcular el lado restante y la regla del seno para calcular los ángulos.
El triángulo es correcto y sé la longitud de un lado y un ángulo	AAS después del tercer ángulo funcionó	Usa las identidades trigonométricas seno y coseno para calcular los otros lados y la suma de ángulos (180 grados) para calcular el ángulo restante.
Conozco la longitud de dos lados y el ángulo entre ellos.	SAS	Usa la regla del coseno para calcular el lado y la regla del seno para calcular los ángulos restantes.
Conozco la longitud de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.	SSA	Usa la regla del seno para calcular los ángulos y lados restantes.
Sé la longitud de un lado y los tres ángulos.	AAS	Usa la regla del seno para resolver los lados restantes.
Conozco las longitudes de los tres lados	SSS	Usa la regla del coseno a la inversa para calcular cada ángulo. C = Arccos ((a² + b² - c²) / 2ab)
Sé la longitud de un lado y el ángulo en cada extremo	AAS	La suma de tres ángulos es de 180 grados, por lo que se puede calcular el ángulo restante. Usa la regla del seno para resolver los dos lados desconocidos.

¿Cómo mides los ángulos?

Puede utilizar un transportador o un buscador de ángulo digital. Estos son útiles para el bricolaje y la construcción si necesita medir un ángulo entre dos lados, o transferir el ángulo a otro objeto. Esta herramienta es muy útil cuando se construyen cosas de madera o metal. También lo uso como reemplazo de un medidor de bisel para transferir ángulos, por ejemplo, al marcar los extremos de las vigas antes de cortar. Las reglas se gradúan en pulgadas y centímetros y los ángulos se pueden medir a 0.1 grados.

Preguntas frecuentes sobre triángulos

A continuación hay algunas preguntas frecuentes sobre los triángulos.

¿Cuántos grados hay en un triángulo?

Los ángulos interiores de todos los triángulos suman 180 grados.

¿Qué es la hipotenusa de un triángulo?

La hipotenusa de un triángulo es su lado más largo.

¿Qué suman los lados de un triángulo?

La suma de los lados de un triángulo depende de las longitudes individuales de cada lado. A diferencia de los ángulos interiores de un triángulo, que siempre suman 180 grados

¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

Para calcular el área de un triángulo, simplemente use la fórmula:

Área = 1 / 2ah

"a" representa la longitud de la base del triángulo. "h" representa su altura, que se descubre dibujando una línea perpendicular desde la base hasta el pico del triángulo.

¿Cómo encuentras el tercer lado de un triángulo que no está bien?

Si conoce dos lados y el ángulo entre ellos, use la regla del coseno y conecte los valores de los lados b, c, y el ángulo A.

A continuación, resolver para el lado a.

Luego usa el valor del ángulo y la regla del seno para resolver el ángulo B.

Finalmente, utiliza tu conocimiento de que los ángulos de todos los triángulos suman 180 grados para encontrar el ángulo C.

¿Cómo encuentras el lado que falta de un triángulo?

Suponiendo que el triángulo es correcto, use el teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante de un triángulo. La fórmula es la siguiente:

c² = a² + b²

c = √ a² + b²

¿Cuál es el nombre de un triángulo con dos lados iguales?

Un triángulo con dos lados iguales y un lado que es más largo o más corto que los otros se llama triángulo isósceles.

¿Qué es la fórmula de coseno?

Esta fórmula proporciona el cuadrado en un lado opuesto a un ángulo, conociendo el ángulo entre los otros dos lados conocidos. Para un triángulo, con los lados a, byc y los ángulos A, B y C, las tres fórmulas son:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A

o

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B

o

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

¿Cómo calculo el volumen de un triángulo?

Como un triángulo es un objeto plano y bidimensional, es imposible descubrir su volumen. Un triángulo es plano. Por lo tanto, no tiene volumen.

Los prismas triangulares, por otro lado, son objetos tridimensionales con un volumen determinable. Para determinar el volumen de un prisma triangular, debe descubrir el área de la base del prisma y luego multiplicarlo por la altura. La fórmula es la siguiente:

V = bh

En la fórmula anterior, "V" representa el volumen, "b" representa el área de la base del prisma triangular y "h" representa la altura del prisma triangular.

¿Cómo averiguar los lados de un triángulo si sé todos los ángulos?

Necesita saber al menos un lado, de lo contrario no puede calcular las longitudes del triángulo. No hay un triángulo único que tenga todos los ángulos iguales. Los triángulos con los mismos ángulos son similares, pero la proporción de los lados para dos triángulos es la misma.

¿Cómo resolver los lados de un triángulo si conozco todos los lados?

Usa la regla del coseno a la inversa. 

La regla del coseno establece:

c 2 = a 2 + b 2 - 2abCos C

Luego, al reorganizar la ecuación de la regla del coseno, puedes calcular el ángulo

C = Arccos ((a 2 + b 2 - c 2 ) / 2ab) 

y 

B = Arccos ((a 2 + c 2 - b 2 ) / 2ac)

El tercer ángulo A es (180 - C - B)

Cómo implementar la regla del coseno en Excel

Puede implementar la regla de coseno en Excel usando la función ACOS Excel para evaluar los arccos. Esto permite elaborar el ángulo incluido, conociendo los tres lados de un triángulo.